1. 서 론
2. AEM 개요
2.1 요소의 구성 및 자유도의 정의
2.2 철근의 구현 방법
2.3 충돌을 위한 접촉 구현
2.4 FEM과 AEM 사이의 메쉬 비교
3. AEM 해석 결과 검토
3.1 비선형 해석을 위한 재료거동의 정의
3.2 단위모델에 대한 해석 및 실험적 검증
4. 결 론
1. 서 론
최근에 다양한 이유로 인하여 폭발이나 충돌에 의한 구조물 붕괴를 방지하기 위해 이에 상응하는 붕괴하중을 신규 구조물 설계에 고려하거나 또는 붕괴하중에 대한 기존 구조물의 안전성을 평가하는 작업이 빈번히 수행되고 있다. 이러한 설계나 안전성 평가의 정량적 검토를 위해 실제 구조물을 대상으로 테스트 하는 것은 현실적으로 불가능하기 때문에 가상의 구조물을 모델링하고 여기에 실제 구조물의 구조적, 재료적 특성을 적용하여 붕괴현상을 관찰할 수 있는 컴퓨터 시뮬레이션은 매우 경제적이며 효과적인 대안이 될 수 있다.
붕괴 시뮬레이션을 위한 수치해석 기법 중 많이 사용되는 방법으로 FEM(Finite Element Method), DEM(Discrete Element Method), AEM(Applied Element Method) 등이 대표적이라 할 수 있다.
FEM은 구조물을 작은 요소로 분할하고 각 요소의 응답함수에 대한 편미분 방정식을 푸는 방법으로 다양한 형상의 요소를 사용하여 복잡한 모델링 구현이 가능하고 적용성과 정확성이 뛰어나다는 장점이 있으며, 이러한 이유로 공학 및 의학, 과학 분야에서 가장 널리 사용되고 있다.
DEM의 경우 입상 구조 및 벌크 고체의 거동을 모델링하기 위해 계산 역학 및 엔지니어링에 사용되는 수치해석 기법으로서 모션, 충돌 및 접촉력을 고려한 개별 입자 또는 개별 요소 간의 상호 작용을 시뮬레이션 하기 위해 개발된 방법이다. 각 입자는 질량, 크기, 모양 및 재료 속성과 같은 고유한 속성을 가진 별도의 개체로 처리하며, 이러한 개체들은 뉴턴의 운동법칙에 의해 제어된다. DEM을 연속체에 적용하려는 시도가 계속되고 있지만 아직까지 FEM보다 대중화되지 못하고 있다.
AEM 방법은 1990년대 중반에 도쿄대에서 FEM과 DEM사이의 연결을 위해 고안한 방법으로 요소는 강체로 보고 요소 사이를 비선형 스프링으로 연결하는 것으로 외력에 저항할 수 있도록 고안한 방법이다(Meguro and Tagel-Din, 1997). 강체 요소 사이를 물리적 스프링으로 연결하기 때문에 고체역학적 문제에 국한되지만 속도가 빠르고 해석적 가정에 비해 실제거동과 상당히 유사한 신뢰성 있는 결과를 보여주고 있기 때문에 지진, 폭발, 충돌, 붕괴 등과 같은 다양한 구조물의 동역학적 문제에 사용되고 있다.
대부분의 붕괴해석 대상 구조물은 철근 콘크리트 구조이며, 이러한 철근 콘크리트 구조물의 붕괴 시뮬레이션을 위해 수치해석기법에서 고려되어야할 사항들을 정리하면 다음과 같다.
● 철근의 비선형과 콘크리트의 균열을 고려할 수 있는 전용 재료 비선형 거동 모델이 있는가?
● 요소 분할이 가능한가?
● 분할된 요소들의 상호 충돌을 묘사할 수 있는가?
● 충돌을 위한 접촉면 검색 속도가 빠른가?
● 해석 속도가 빠른가?
이러한 요구사항들에 근거하여 앞에서 언급한 수치해석기법 중 가장 효과적인 방법으로 AEM을 선택할 수 있다. 그러나 AEM의 경우 짧은 역사와 더불어 에너지 베이스의 지배미분방정식 형태로부터 수식이 유도된 것이 아닌 단순 스프링의 응답을 통해 구조물 해석이 수행되기 때문에 그 신뢰성에 대한 의문이 끊임없이 제기되어오고 있다.
본 논문은 AEM의 개념에 대해 간략히 소개하고, 현재 제기되고 있는 신뢰성에 대해 정적 및 동적, 그리고 선형 및 비선형 모델로 분류된 네 가지 분류 별 모델들을 사용하여 그 결과를 수계산 또는 실험 계측 결과와 비교하고, 이를 통해 AEM의 실무적용에 대한 적정성 판단에 도움을 주는 것에 그 목적이 있다.
2. AEM 개요
2.1 요소의 구성 및 자유도의 정의
AEM방법은 일반적으로 사용되는 연속체 내부의 변형에너지가 외부에너지와 같다는 가정이 아닌 강체와 강체가 만나는 면에 분포하는 분포스프링의 변형에너지를 적분한 값이 외부에너지와 같다는 가정을 통해 구조물의 응답을 예측하는 방법이다.
아래 Fig. 1은 두 강체 요소를 분포스프링으로 연결한 개념도를 보여준다.
두 콘크리트 입체요소의 거동은 인접요소와 맞닿은 경계면에 생성한 분포 스프링의 거동으로 이산화 되며, 이때의 분포 스프링은 Fig. 2와 같이 하나의 수직방향 스프링과 직교하는 두 방향의 전단스프링으로 구성된다.
Fig. 3은 두 강체 사이의 상대 거동을 통해 표현할 수 있는 6가지 자유도를 보여주고 있다. Fig. 3의 왼쪽 세 개의 자유도는 이동 자유도를 나타내며, 우측 세 개의 자유도는 회전자유도를 나타낸다. 두 개 요소 사이의 상대적인 이동 또는 회전 변위는 Fig. 3에 표시된 것과 같이 스프링에 변형을 발생시키며, 이로 인해 스프링에 응력이 발생하게 된다.
이러한 변형률과 응력의 관계는 선형 또는 비선형으로 수직방향과 전단방향을 별도로 고려하여 정의할 수 있으며, 이를 통해 콘크리트 비선형 거동을 충분히 묘사할 수 있다. 또한, 변형률의 크기가 특정 값을 초과하는 경우 스프링을 제거하여 두 요소가 완전히 분리되도록 할 수 있으며, 모든 면이 분리된 요소는 동역학 방정식에 따라 자유물체운동을 하게 된다.
2.2 철근의 구현 방법
철근은 Fig. 4와 같이 강체 요소가 만나는 면에서 철근이 지나가는 위치에 수직 및 전단 두 방향에 대한 스프링을 배치하여 구현한다. 이때 스프링에 철근의 비선형 거동 특성을 부여하여 철근의 재료비선형 거동을 묘사할 수 있다.
2.3 충돌을 위한 접촉 구현
요소와 요소 사이의 접촉은 붕괴 시뮬레이션에서 매우 중요한 역할을 하게 된다. 접촉은 다양한 경우에 대해 구현되어야 하며, 꼭짓점과 면, 모서리와 모서리, 꼭짓점과 지면의 접촉으로 나눌 수 있다.
Fig. 5는 꼭짓점과 면의 접촉을 보여준다. 먼저 접촉이 발생되는 부분을 탐색하고, 접촉이 발생된 것으로 판단되는 꼭짓점과 면 위의 점 사이를 수직방향과 두 전단방향 스프링으로 연결한다. 연결된 스프링은 접촉에 의한 반력과 미끌림에 의한 마찰력을 계산할 수 있도록 해준다.
모서리와 모서리 접촉은 모서리끼리 만나는 점을 검색하고, 서로 만나는 점 사이에 Fig. 6과 같이 수직방향과 두 전단방향 스프링을 생성하여 접촉에 의한 반력과 마찰력을 계산한다.
2.4 FEM과 AEM 사이의 메쉬 비교
FEM의 경우 요소는 절점으로 이루어져 있으며, 모든 절점은 Fig. 7의 왼쪽 그림과 같이 서로 연결되어있어야 한다. 그러나 AEM의 경우는 마주 닿는 면을 스프링으로 연결하기 때문에 절점공유에 대한 제약이 없다. 이러한 이유로 Fig. 7의 우측 그림과 같이 요소분할 시 보다 정확한 정보를 원하는 곳은 조밀하게 분할하고, 그렇지 않은 곳은 요소 크기를 크게 분할하여 모델링할 수 있기 때문에 요소 분할 시 AEM이 FEM보다 자유롭고 편리하다는 것을 알 수 있다.
잘 알려진 바와 같이 FEM의 경우 형상비가 좋지 않거나 요소 체적이 0에 가까운 값이 발생하는 경우 비선형 해석결과에 부정적인 영향을 주는 것으로 알려져 있다. FEM에서 이러한 문제를 해결하기 위해 작은 크기의 요소로 전체 모델을 분할하는 경우도 있지만, 이러한 경우 해석시간이 요소개수가 증가함에 따라 기하급수적으로 늘어난다는 단점이 있다.
이러한 이유로 요소분할에 있어서 AEM은 FEM에 비해 매우 큰 장점을 가지고 있다고 할 수 있다.
3. AEM 해석 결과 검토
AEM해석을 위해 AEM이 적용된 상용프로그램인 ELS(Extreme Loading for Structure)를 사용한 해석결과와 FEM해석결과 및 수계산 결과를 서로 비교하였다.
3.1 비선형 해석을 위한 재료거동의 정의
재료 비선형 거동을 정의하기 위해 ELS에서 제공하는 스프링의 비선형 거동 모델을 사용하였으며, 재료 별로 아래 Fig. 8과 같이 정의하였다. Fig. 8(a)의 콘크리트 모델은 Maekawa and Okamura(1983) 비선형 거동 모델을 사용하였으며, 철근은 Ristic et al.(1986)의 비선형 거동 모델을 사용하였다. 이때 콘크리트 전단거동은 아래 Fig. 8(b)와 같이 취성거동을 하는 것으로 가정하였다.
3.2 단위모델에 대한 해석 및 실험적 검증
동적 해석과 실험결과를 비교하기 전에 먼저 선형정적거동에 대한 결과를 검토한다. 선형탄성거동에 대한 결과를 부정정보, 변단면 보 두 개 모델에 대해 수계산, FEM 및 AEM의 세 방법에 대해 비교한다. 이를 통해 AEM방법의 해석적 신뢰도를 검토하고 이어서 콘크리트와 철근의 비선형 거동이 포함된 정적비선형에 대한 해석결과를 실험결과와 비교한다.
정적 해석결과의 비교 후 동적결과를 타 프로그램과 비교하고, 이어서 실제 붕괴 시 계측된 데이터와 해석결과를 비교하는 과정을 통해 AEM의 폭발 및 붕괴에 대한 해석적 신뢰성을 검증한다.
3.2.1 선형탄성해석에 대한 검증
선형탄성거동 모델로 부정정보와 변단면 캔틸레버보 모델을 선정하였다. 부정정보 모델의 단면 형상과 하중 재원은 Fig. 9와 같다. 이때 사용한 탄성계수는 24136.8 MPa이다. 사용된 요소는 3차원 입체요소이다.
Fig. 10은 변단면 캔틸레버 보의 형상 및 하중을 보여준다. 이 모델에 사용된 탄성계수는 199947.3 MPa이다.
두 선형탄성 모델에 대한 해석결과는 Table 1과 같다. 수계산에 대한 FEM과 AEM 해석결과의 차이는 부정정 보인 경우 최대 –7 %였으며, 이 오차 값은 FEM과 AEM 모두 동일한 값을 보여주었다. 변단면 모델에 대해서는 AEM의 처짐값이 FEM보다 0.8 % 더 크게 발생하였다.
FEM의 입체요소는 해석결과로서 단면의 회전각을 확인할 수 없다. 해당 단면들의 절점변위를 사용하여 강제로 계산이 가능하지만 추가적인 알고리즘이 요구되기 때문에 이러한 기능을 지원해주는 프로그램이 많지 않다. 그러나 AEM의 경우 Fig. 3의 상대 변위와 같이 두 요소 사이의 상대변위를 기본적으로 계산하기 때문에 단면의 회전각 결과를 기본적으로 제공해주고 있다는 장점이 있다.
Table 1
Comparison of analysis results between FEM and AEM in linear elastic and static problems
| Statically indeterminate beam | Non-prismatic cantilevered beam | ||
| Deflection (mm) | Rotation (rad) | Deflection (inch) | |
| Hand calculation | 2.223 | 0.00127 | 92.375 |
| FEM | 2.057 | - | 95.504 |
| AEM | 2.057 | 0.001196 | 96.266 |
3.2.2 정적 비선형 해석에 대한 검증
정적비선형거동 검증을 위해 두 개의 철근 콘크리트 모델에 대한 실험결과와 해석결과를 비교하였다. 이때 사용된 콘크리트와 철근의 비선형 거동모델은 Fig. 8과 같다.
첫 번째 비교모델로 Wenwei and Guo(2006)가 실험한 CFRP로 보강된 철근 콘크리트보의 4절점 휨실험 결과와 해석 결과를 비교하였다. 실험에 사용된 기하학적 재원은 Fig. 11과 같으며, 이때 사용된 콘크리트의 압축강도: 40 MPa, 인장강도: 4.9 MPa, CFRP의 압축강도: 0 MPa, 인장강도: 3043 MPa로 해석에 반영하였다. 철근의 경우 하부철근의 항복강도: 36.5 MPa, 상부철근의 항복강도: 35.2 MPa로 적용하였다. 탄성계수는 CFRP, 콘크리트, 상부철근, 하부철근의 순으로 211850 MPa, 326785.5 MPa, 209851 MPa, 199860 MPa의 값을 사용하였다.
지점 중앙에서의 실험과 해석결과에 대한 하중-변위 그래프를 Fig. 12에 나타내었으며, 그 결과가 20 mm에서 최대 오차 8.5 %로 잘 일치하는 것을 확인할 수 있었다.
두 번째 선형탄성 비교모델로서 Denpongpan(2001)의 모델을 사용하였다. Denpongpan은 전단이 지배되는 철근 콘크리트 보의 반복하중에 대한 전단거동을 관찰하기 위해 Fig. 13과 같은 형태의 구조물에 대한 실험을 수행하였으며, AEM의 비선형 거동추정과 수행능력을 검토하기 위해 이를 ELS를 사용하여 모델링하고 해석 결과를 비교하였다.
실험에 사용된 콘크리트 강도는 55 MPa, 철근 항복강도는 360 MPa이다.
실험체의 지간 중앙에서 하중-변위값을 측정한 결과와 해석결과를 비교한 그래프를 Fig. 14에 나타내었으며, 결과값에는 약간의 차이를 보이지만 거동적 경향이 매우 유사한 것으로 판단하였다.
3.2.3 선형 동적 거동에 대한 검증
Wibowo et al.(2009)은 구조물 동해석에 AEM을 적용하기 위해 먼저 FEM과 비교를 진행하였으며, 이를 위한 프로그램으로 AEM은 ELS를 FEM은 SAP2000을 사용하여 해석을 수행하였다. 사용된 모델형상은 아래 Fig. 15와 같다.
해석에 사용된 콘크리트의 재료물성은 압축강도: 34.5 MPa, 인장강도: 1.76 MPa, 탄성계수: 27792 MPa, 전단탄성계수: 11581.7 MPa, 단위중량: 2.4 ton/m3을 적용하였다. 또한, 결과비교를 위해 수평변위는 좌측기둥 상부에서 출력하였으며, 모멘트와 전단력은 좌측기둥 하부에서 출력하였으며, 그 결과를 Fig. 16에 나타내었다.
Fig. 16에서 결과값의 형상은 유사하지만 결과값의 시작점이 다른 이유는 SAP2000의 경우 자중을 고려하지 않고 지진동을 도입하였기 때문에 초기 모멘트, 전단력 및 축력이 0에서 시작하기 때문에 발생되는 차이다. 이를 고려하여 AEM의 결과를 0에서 시작하는 것으로 가정한다면 두 해석의 결과가 매우 유사하다는 것을 그래프의 형상과 크기를 통해 알 수 있었다.
또한, Wibowo et al.(2009)는 동일한 구조물에 대해 추가적으로 초기 6개 진동모드에 대하여 ELS와 SAP2000 사이의 결과를 비교하였으며, 그 결과를 Table 2에 나타내었다. Table 2에서 볼 수 있듯이 고유주기값에 대한 AEM과 FEM 사이의 차이가 2 % 내외로 크지 않음을 확인할 수 있었다.
Table 2
Comparison of period between ELS and SAP2000
3.2.4 비선형 동적 거동에 대한 실험 및 해석결과 검증
Sasani and Sagiroglu(2008)은 Fig. 17에서와 같이 San Diego 호텔의 일부를 폭파해체하는 과정에서 Fig. 18에 표시된 위치에 대해 변위와 변형률 계측을 수행하였다.
Fig. 19(a)는 Fig. 18(b)의 2층 A3 위치의 바닥에서 측정된 수직 변위에 대한 측정데이터와 해석결과를 보여준다. 그래프에 도시된 FEM은 상용프로그램인 LS-Dyna를 사용하여 해석을 수행한 것이며, AEM은 ELS를 사용하여 해석을 수행한 결과이다. 그래프를 통해 확인 할 수 있듯이 실험결과와 해석결과가 대체적으로 유사하게 나오며, FEM과 AEM의 해석 결과도 거의 유사하게 나오고 있음을 알 수 있었다.
Fig. 19(b)의 결과는 Fig. 18(b)의 3층 A1-A2의 상부 가로보에서 A2에 근접하게 부착한 변형률게이지의 측정데이터와 ELS의 해석결과를 보여준다. 사각형 박스 안의 결과에서 볼 수 있듯이 해석결과와 측정 데이터 사이의 진동특성이 유사하게 나오고 있어 AEM방법이 실제 구조물의 동적 특성을 잘 반영하고 있음을 알 수 있었다.
마지막 비교모델로 Tagel-Din(2009)는 FEM을 사용하는 LS-Dyna와 AEM을 사용하는 ELS, 두 프로그램을 사용하여 폭발하중을 받는 벽체의 응답을 비교하였다. 벽체의 크기는 폭 6.1 m, 높이 3.66 m, 두께 10.7 cm이며, 사용된 탄성계수는 22894 MPa, 콘크리트 강도는 10.9 MPa을 사용하였다.
해석모델은 경계조건에 따라 Fig. 20과 같이 3가지 케이스로 나누었으며, case 1은 상하부를 단순보 조건으로 고정하고, 측면은 자유단으로 유지한 것이며, case 2는 상단을 제외한 측면과 하부를 고정단 힌지 조건으로 구속한 것이다. Case 3는 양쪽 측면과 상부 및 하부를 모두 고정단 힌지조건으로 정의하여 구분하였다. 해석에 사용된 폭발하중은 Fig. 21에 나타내었다.
Fig. 22는 벽체 중심점에서의 시간에 따른 변위결과를 보여준다. 이때 LS-Dyna의 경우 요소분할을 고려하지 않았으며, AEM은 요소분할을 고려한 결과이다. 폭발하중이 크지 않은 관계로 두 결과 모두 유사한 거동 결과를 보여주고 있음을 확인할 수 있었다.
해석 시간의 경우 FEM을 사용하는 LS-Dyna는 평균 6분의 해석시간이 소요되었으며, AEM을 사용하는 ELS는 평균적으로 30초의 해석시간이 소요되어 이 모델에 대해서 AEM방식의 ELS가 FEM방식의 LS-Dyna보다 해석시간이 12배 빠른 수행능력을 보여주고 있었다.
4. 결 론
AEM 결과에 대한 신뢰성 검토를 위해 정해석과 동해석을 수행하였으며, 각각에 대해서 선형과 비선형해석 결과를 다른 방법들의 결과와 비교하였다.
정적 선형해석의 경우 부정정 보와 변단면 보에 대해 수계산 및 FEM 결과와 비교하였으며, 이때 수계산과의 오차는 FEM과 매우 유사한 크기로 발생함을 Table 1을 통해 확인할 수 있었다.
정적 비선형해석의 경우 기존 논문의 실험결과와 해석결과를 비교하였으며, 실험결과와 해석결과의 유사성을 통해 AEM이 철근 콘크리트 구조물의 비선형 거동을 잘 구현하고 있음을 확인할 수 있었다.
동적 선형해석의 경우 SAP2000과의 비교를 통해 결과의 신뢰성을 확인할 수 있었으며, 특히 Table 2에 나타낸 구조물의 동적거동 특성을 나타내는 고유치해석에 대한 결과의 유사성을 통해 AEM방법의 일반 실무적인 모델에 대한 활용성을 확인할 수 있었다.
동적 비선형해석의 경우는 실제 구조물의 발파 해체 시 측정된 데이터를 기반으로 해석 결과와 비교하였으며, 이때 그 결과가 유사한 경향과 값을 보여주고 있음을 확인하였다. 추가적으로, 벽체모델에 폭발하중을 적용하고 FEM방법과 AEM방법의 결과를 비교하여 그 결과의 유사성을 다시 한 번 확인하였으며, 추가로 AEM방법의 해석시간에 대한 월등한 장점을 확인할 수 있었다.
네 가지 유형의 비교를 통해 AEM을 사용한 구조물 붕괴 시뮬레이션의 신뢰성과 적용성을 확인할 수 있었다.
